লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16
. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি. । ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 15 সেমি.
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
তির্যক উচ্চতা (�) = 24 সেমি.
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πr� বর্গ সেমি.
= 227 ✕15✕24 বর্গ সেমি.
শঙ্কু সূত্র
= 1131.43 বর্গ সেমি. ( প্রায়)
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(�+r) বর্গ সেমি.
= 227 ✕ 15✕(24+15) বর্গ সেমি.
= 1838.57 বর্গ সেমি.( প্রায় )
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1131.43 বর্গ সেমি. ( প্রায়) এবং শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1838.57 বর্গ সেমি.( প্রায় ) ।
2.শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন, (i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার ।(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার ।
সমাধানঃ (i) শঙ্কুর আয়তন
গণিত সমাধান
= 13✕ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
= 13✕1.54✕2.4 ঘন মিটার
= 1.232 ঘন মিটার ( উত্তর)
(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 21 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ (r ) = 21/2 মিটার = 10.5 মিটার ।
তির্যক উচ্চতা (�) = 17.5 মিটার ।
ধরি , শঙ্কুটির উচ্চতা h মিটার ।
এখন , �2 = h2+r2
বা, (17.5)2 = h2+(10.5)2
বা, h2 = (17.5)2 –(10.5)2
বা, h2 = (17.5+10.5)(17.5-10.5) [∵ a2-b2=(a+b)(a-b)]
লম্ব শঙ্কু
বা, h2 = 28✕7
বা, h2 = 2✕2✕7✕7
বা, h2=(14)2
বা, h = 14
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা 14 মিটার ।
শঙ্কুটির আয়তন
= 13 πr2h ঘনমিটার
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
=13✕227 ✕(10.5)2✕14 ঘনমিটার
= 13✕ 227 ✕ 10.5✕10.5✕14 ঘনমিটার
= 22✕1.5✕3.5✕14 ঘনমিটার
= 1617 ঘনমিটার ( উত্তর )
3. আমিনা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি. ও 20 সেমি. । 15 সেমি. দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় ,তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল , সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ সমকোণী ত্রিভুজটির 15 সেমি. বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তা হল শঙ্কু ।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা (h) = 15 সেমি.
এবং শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধ (r) = 20 সেমি.
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা � সেমি.
এখন , l2 = h2+r2
বা, �2 = (15)2+(20)2
বা, �2 = 225+400
বা, �2 = 625
বা, �2 = (25)2
বা, �= 25
শঙ্কু সূত্র
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা = 25 সেমি.
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πr� বর্গ সেমি.
লম্ব শঙ্কু
=227×20×25 বর্গসেমি.
= 110007 বর্গসেমি.
= 157137 বর্গসেমি.
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r+�) বর্গ সেমি.
=227×20×(20+25 বর্গসেমি.
= 227×20×45 বর্গসেমি.
= 198007 বর্গসেমি.
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
= 282847 বর্গসেমি.
শঙ্কুটির আয়তন
= 13 πr2h ঘনসেমি.
=13×227×(20)2×15 ঘনসেমি.
=22×20×20×57 ঘনসেমি.
= 628557 ঘনসেমি.
উত্তরঃ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 157137 বর্গ সেমি. । শঙ্কুটির সমসগ্রতলের ক্ষেত্রফল 282847 বর্গসেমি. এবং শঙ্কুটির আয়তন 628557 ঘনসেমি.
4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে 6 সেমি ও 10 সেমি হলে , শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ শঙ্কুর উচ্চতা (h) = 6 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা (�) = 10 সেমি.
ধরি , শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r সেমি. ।
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
∴ l2 = h2+r2
বা, (10)2 = (6)2 +r2
বা, 100= 36+r2
বা, r2 = 100-36
বা, r2 = 64
বা, r2 = (8)2
বা, r = 8
∴ শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 8 সেমি.
শঙ্কু সূত্র
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r+�) বর্গ সেমি. বর্গ সেমি.
=227×8×(8+10) বর্গ সেমি.
= 227×8×18 বর্গ সেমি.
= 31687 বর্গ সেমি.
= 45247 বর্গ সেমি.
শঙ্কুর আয়তন
=13�r2h ঘন সেমি.
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
= 13×227×82×6 ঘন সেমি.
= 13×227×64×6 ঘন সেমি.
=22×64×27 ঘন সেমি.
= 40227 ঘন সেমি.
উত্তরঃ শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 45247 বর্গ সেমি. এবং আয়তন 402\frac{2}{7} ঘন সেমি. ।
লম্ব শঙ্কু
5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি. এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে , শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r সেমি.
শঙ্কুর উচ্চতা (h ) = 12 সেমি.
শঙ্কুর আয়তন = 100 π ঘন সেমি.
∴13�r2h = 100�
বা, 13�r2(12) = 100�
বা, 4�r2 = 100�
বা, 4r2 =100
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
বা, r2 =1004
বা, r2 =25
বা, r2 =(5)2
বা, r =5
∴ শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 5 সেমি.
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা � হলে ,
�2=h2+r2
বা, �2 = (12)2+(5)2
বা, �2 = 144+25
শঙ্কু সূত্র
বা, �2 = 169
বা, �2=(13)2
বা, � = 13 [ উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই ]
∴ শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি.।
6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে । তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয় ,তবে তাঁবুটির ভূমির ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে ।
লম্ব শঙ্কু
অর্থাৎ তাঁবুটির পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা (l) = 7 মিটার ।
ধরি, তাঁবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r মিটার ।
শর্তানুসারে ,
πrl = 77
বা,��� = 77
বা,227×�×7 = 77
বা, 22r = 77
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
বা,r = 7722
বা,r = 72
বা, r =3.5
∴ শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যসার্ধ 3.5 মিটার।
∴ শঙ্কুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ��2
= 227×(3.5)2 বর্গ মি.
= 227×3.5×3.5 বর্গ মি.
শঙ্কু সূত্র
=22×0.5×3.5 বর্গ মি.
= 38.5 বর্গ মি.
∴ তাবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার ।
উত্তরঃ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ সেমি.।
7.একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার । প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার ।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ (r ) = 212 মিটার = 10.5 মিটার ।
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা (h ) = 14 মিটার
শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে ,
�2=ℎ2+�2
বা,�2 = (14)2+(212)2
বা, �2 = 196 + 4414
বা, �2 = 784+4414
বা, �2 = 12254
বা, �2 = (352)2
বা, � = 352
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা (l)=352 মিটার
লম্ব শঙ্কু
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= ��� বর্গ মিটার
=227×212×352 বর্গ মিটার
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
=577.50 বর্গ মিটার
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতল 1.50 টাকা হিসাবে রঙ করতে খরচ হবে = (577.50 ✕1.50) টাকা = 866.25 টাকা ।
8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. । খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গসেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে । খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি । খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. ।
∴ নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r ) = 10/2 সেমি. = 5 সেমি.
খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গসেমি. 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে ।
শঙ্কু সূত্র
∴ খেলনাটির বক্রতলের বা পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 4292.10 বর্গ সেমি.
ধরি , শঙ্কু আকৃতির কাঠের খেলনার তির্যক উচ্চতা l সেমি.
∴���=4292.10
বা,227×5×� = 4292.10
বা, � = 429×72.10×22×5
বা, � = 429×7×100210×22×5
বা, � = 13
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনার তির্যক উচ্চতা (�) = 13 সেমি. ।
�2 = h2+r2
বা, h2 = �2-r2
বা, h2 = (13)2 – (5)2
বা, h2 = 169-25
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
বা, h2 = 144
বা, h2 = (12)2
বা, h = 12
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনার উচ্চতা 12 সেমি. ।
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনার আয়তন
= 13��2ℎ ঘন সেমি.
= 13×227×(5)2×12 ঘন সেমি.
= 13×227×25×12 ঘন সেমি.
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
= 22007 ঘন সেমি.
= 31427 ঘন সেমি.
∴ শঙ্কু আকৃতির খেলনার আয়তন 31427 ঘন সেমি.।
9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে (75 পূর্ণ 3 /7 ) বর্গমিটার লোহার পাত লেগেছে । বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয় , তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি । এই বয়াটির চারপাশ রঙ করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি । [ লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না ]
সমাধানঃ ধরি , লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়াটির ব্যাসার্ধ r মিটার ।
লম্ব শঙ্কু
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়াটির তির্যক উচ্চতা ( � ) = 5 মিটার ।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়াটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr (r+� ) বর্গ মিটার
= πr (r+5) বর্গ মিটার
∴��(�+5)=7537
বা, 227×�×(�+5) = 5287
বা, �×(�+5) = 5287×722
বা, �×(�+5) = 24
বা,�2+5�–24 = 0
বা,�2+(8–3)�–24 = 0
বা, �2+8�–3�–24 = 0
বা, �(�+8)–3(�+8) = 0
বা, (r + 8)(r – 3) = 0
শঙ্কু সূত্র
দুটি রাশির গুণফল শূন্য
হয় , (r+8)=0
বা, r =-8
অথবা , (r-3)=0
বা, r =3
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 3 মিটার ।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
∴ r = 3
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়াটির উচ্চতা h মিটার ।
∴ �2 =h2+r2
বা, h2 = �2-r2
বা, h2 = (5)2 –(3)2
বা, h2 = 25-9
বা, h2 = 16
বা, h2 = (4)2
বা, h = 4 [ উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই ]
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
∴ শঙ্কুর উচ্চতা 4 মিটার ।
বয়াটিতে বায়ুর পরিমাণ
= বয়াটির আয়তন
=13��2ℎ ঘন মিটার
= 13×227×(3)2×4 ঘন মিটার
= 22×3×47 ঘন মিটার
= 2647 ঘন মিটার
= 3757 ঘন মিটার
লম্ব শঙ্কু
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির বয়াটিতে বায়ুর পরিমান 3757 ঘন মিটার ।
বয়াটির চারপাশ প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে খরচ পড়বে
= 7537×2.80 টাকা
= 5287×2.80 টাকা
= 528×0.40 টাকা
= 211.20 টাকা
∴ বয়াটির চারপাশ রঙ করতে 211.20 টাকা খরচ হবে ।
10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে ।প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন হয় । ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি , লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং উচ্চতা h মিটার । এখন , 1 জন লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে 4 বর্গমিটার
∴ 11 জন লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে = (4 ✕11) বর্গমিটার = 44 বর্গমিটার
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল 44 বর্গমিটার
∴ πr2 =44 —- (i)
আবার , 1 জন লোকের জন্য বাতাসের প্রয়োজন হয় 20 ঘন মিটার
∴ 11 জন লোকের জন্য বাতাসের প্রয়োজন হয় (11✕20) ঘনমিটার = 220 ঘনমিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার আকৃতির তাঁবুটির আয়তন = 220 ঘনমিটার
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
∴ 1/3 πr2h = 220 —- (ii)
এখন (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই ,
13��2ℎ��2 = 22044
বা, ℎ3 = 5
বা, h = 15
∴ 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার ।
11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি. । টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে । টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি. ।
লম্ব শঙ্কু
∴ বাইরের দিকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) = 212 সেমি.
টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি. 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে ।
∴ টোপরটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল = 57.75×10010 বর্গ সেমি. = 577.5 বর্গ সেমি.
ধরি , টোপরটির তির্যক উচ্চতা l সেমি.
আবার টোপরটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ সেমি.
∴��� = 577.5
⇒227×212×� = 577.5
⇒33� = 577.5
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
⇒� = 577.533
⇒� = 17.5
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা (� )= 17.5 সেমি.।
ধরি , টোপরটির উচ্চতা h সেমি.
�2 =h2+r2
বা, h2 = �2 –r2
বা, h2 = (17.5)2 – (21/2)2
বা, h2 = (17.5)2 – (10.5)2
বা, h2 = (17.5+10.5)(17.5-10.5) [∵a2-b2=(a+b)(a-b)]
শঙ্কু সূত্র
বা, h2 = 28 ✕ 7
বা, h2 = 156
বা, h2 = (14)2
বা, h = 14 [ উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই ]
∴ টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি.
12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে ,যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার । মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি । গমের ওই স্তুপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গমিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি । [ ধরি , π = 3.14 , √130 = 11.4 ]
সমাধানঃ গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে ,যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার ।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
∴ ব্যাসার্ধ ( r ) =92 মিটার = 4.5 মিটার
এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের উচ্চতা (h ) = 3.5 মিটার ।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের আয়তন
=13��2ℎ ঘন মিটার
= 13×3.14×(4.5)2×3.5 ঘন মিটার
লম্ব শঙ্কু
= 13×3.14×4.5×4.5×3.5 ঘন মিটার
= 74.18 ঘন মিটার
ধরি , গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা � মিটার ।
বা, ∴�2 = ℎ2+�2
বা, �2 = (3.5)2+(4.5)2
বা, �2 = (72)2+(92)2
বা, �2 = 494+814
বা, �2 = 1304
বা, � = 1304
বা, � = 1302
বা, � = 11.42
বা, � = 5.7
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
∴ গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা = 5.7 মিটার ।
গমের স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে যে পরিমান প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে তা হল ,
=πrl বর্গ মিটার (লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির গমের স্তূপের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল )
= 3.14 ✕ 4.5 ✕ 5.7 বর্গ মিটার
= 80.54 বর্গ মিটার ( প্রায় )
∴ লম্ব বৃত্তাকার গমের স্তূপ প্লাস্টিক দিয়ে ঢাকতে যে প্লাস্টিকের প্রয়োজন হবে তার পরিমাণ 80.54 বর্গ মিটার ( প্রায় )।
13.অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি. এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি. হলে শঙ্কুটির পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল
(a) 60π বর্গ সেমি.
(b) 68π বর্গ সেমি.
(c ) 120π বর্গ সেমি.
(d ) 130π বর্গ সেমি.
Ans: (c ) 120π বর্গ সেমি.
সমাধানঃ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস = 16 সেমি
লম্ব শঙ্কু
∴ ব্যাসার্ধ (r) = 162 সেমি. = 8 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা ( � ) = 15 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl বর্গসেমি.
= π ✕ 8 ✕15 বর্গসেমি.
= 120π বর্গসেমি.
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত
(a) 1:5
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
(b) 5:4
(c) 25:16
(d ) 25:64
Ans: (d ) 25:64
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কু দুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r1 একক এবং r2 একক এবং শঙ্কু দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h1 একক এবং h2 একক এবং শঙ্কু দুটির আয়তন যথাক্রমে V1ঘন একক ও V2 ঘন একক
∴ r1:r2 = 4:5
এবং , V1: V2 = 1:4
�1�2 = 14
⇒13�(�1)2ℎ113�(�2)2ℎ2 = 14
⇒(�1�2)2×ℎ1ℎ2 = 14
⇒(45)2×ℎ1ℎ2 = 14
⇒1625×ℎ1ℎ2 = 14
⇒ℎ1ℎ2= 14×2516
⇒ℎ1ℎ2 = 2564
∴ h1:h2 =25:64
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
(iii) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায়
(a) 100%
(b) 200%
(c ) 300%
(d ) 400%
Ans: (a) 100%
শঙ্কু সূত্র
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক ।
∴ শঙ্কুর আয়তন = 13 π r2h ঘনএকক
আবার , শঙ্কুর উচ্চতা দ্বিগুন করলে শঙ্কুর আয়তন হবে ,
= 13 πr2(2h) ঘনএকক
= 23πr2h ঘনএকক
∴ শঙ্কুর আয়তন শতকরা বৃদ্ধি পাবে
=(আয়তন বৃদ্ধি / পূর্বের আয়তন )✕ 100%
=23��2ℎ–13��2ℎ13��2ℎ×100%
= 13��2ℎ13��2ℎ×100%
= 100%
(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে , শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুন
(b) 4 গুন
(c ) 6 গুন
(d) 8 গুন
Ans: (d) 8 গুন
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।
∴ শঙ্কুর আয়তন = 13 π r2h ঘনএকক
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
আবার শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকে দ্বিগুন হলে পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ হবে 2r একক এবং পরিবর্তিত উচ্চতা হবে 2h একক
এখন শঙ্কুটির আয়তন
= 13 ✕ π ✕ (2r)2 ✕(2h) ঘনএকক
= 8 ✕13 π r2h ঘনএকক
∴ শঙ্কুটির আয়তন পূর্বের শঙ্কুর তুলনায় 8 গুন বৃদ্ধি পাবে ।
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r/2 একক এবং তির্যক উচ্চতা 2l একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
(a) 2πr(l+r) বর্গ একক
শঙ্কু সূত্র
(b) πr (l+r/4) বর্গ একক
(c ) πr (l+r) বর্গ একক
(d) 2πrl বর্গ একক
Ans:(b) πr (l+�4) বর্গ একক
সমাধানঃ একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য �2 একক এবং তির্যক উচ্চতা 2� একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=�×�2(�2+2�) বর্গ একক
= 2��2(�+�4) বর্গ একক
= ��(�+�4) বর্গ একক
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে ।
উত্তরঃ মিথ্যা ।
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।
∴ লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = 13 πr2h ঘন একক
আবার , শঙ্কুর ব্যাসার্ধ অর্ধেক অর্থাৎ �2 একক হলে এবং উচ্চতা দ্বিগুন অর্থাৎ 2h হলে পরিবর্তিত শঙ্কুটির আয়তন
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
=13 ✕ π ✕ (�2)2 ✕ (2h) ঘন একক
=13 ✕ π ✕ �24 ✕ (2h) ঘন একক
= 12( 13 πr2h) ঘন একক । অর্থাৎ শঙ্কুর আয়তন পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের অর্ধেক হয় ।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা , ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয় ।
উত্তরঃ সত্য ।
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) ABC সমকোণী ত্রিভুজের AC অতিভুজ । AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য যে যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ ______________ ।
উত্তরঃ BC
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা ___________ ।
উত্তরঃ 3��
শঙ্কুর আয়তন (V) = 13 ✕ ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা = 13 ✕ A ✕ h
বা, V = 13 ✕ A ✕ h
লম্ব শঙ্কু
বা, h = 3��
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান । তাদের আয়তনের অনুপাত _____________ ।
উত্তরঃ 3:1
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক ।
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন = πr2h ঘন একক
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = 13 πr2h ঘন একক
∴ এদের আয়তনের অনুপাত = πr2h : 13 πr2h = 1 : 13 = 3:1
14. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি. এবং আয়তন 100π ঘন সেমি. । শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ধরি , শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি.
শঙ্কুটির উচ্চতা (h) = 12 সেমি.
শঙ্কুটির আয়তন = 100π ঘন সেমি.
∴ 100π =13 πr2h
বা, 300π = πr2(12)
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
বা, r2 = 30012
বা, r2 =25
বা, r = √25
বা, r = 5
∴ শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ 5 সেমি.।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের √5 গুন । শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি ।
সমাধানঃ ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক , উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক । ∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল πr2 বর্গ একক
গণিত সমাধান
শর্তানুসারে,
Πrl = √5 ✕ πr2
বা, l = r√5
বা, l2 = 5r2 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]
বা, h2+r2 = 5r2 [∵ l2=h2+r2 ]
বা, h2 = 4r2
বা, ℎ2�2 = 4:1
বা, ℎ� = 21 [ উভয়পক্ষে বর্গমূল করে পাই ]
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
বা, h:r = 2:1
∴ শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:1 ।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক ,ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে , ���– এর মান কত তা লিখি ।
সমাধানঃ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন
V = 13 ✕ ভূমির ক্ষেত্রফল ✕ উচ্চতা
বা, V = 13 ✕ A ✕ H
বা, 3 = ���
∴ ��� = 3
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন ও পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফলের সংখ্যা মান সমান । শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক ও r একক হলে , (1/h2 +1/r2 ) – এর মান কত ?
সমাধানঃ
লম্ব শঙ্কু
13��2ℎ = ���
বা, rh=3�
বা, (rh)2=9l2
বা, r2h2=9(h2+r2) [যেহেতু, l2=h2+r2]
বা, h2+r2r2h2 = 19
বা, h2r2h2+r2r2h2= 19
বা, 1�2+1ℎ2 = 19
∴ 1�2+1ℎ2 এর মান 19
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2 :3 , চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি ।
সমাধানঃ r1:r2 = 3:4
এবং h1 : h2 = 2:3
�(�1)2ℎ1:13�(�2)2ℎ2
=�(�1)2ℎ113�(�2)2ℎ2
= 3(�1�2)2ℎ1ℎ2
= 3×(34)2×23
= 3×916×23
= 98
= 9:8
বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল
∴ চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 9:8 ।